La théorie cinétique des gaz
 

     

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La pensée d'Avogadro

 

   Pour n'importe quel gaz:        Des mêmes volumes, à la même température et pression renferment le même nombre de molécules

   En effet:    Si température , presssion et volume sont constants, alors    la →  loi des gaz exige que    $n = \frac{PV}{RT}$ est constant    et    Le nombre de molécules = $n\cdot N_A$ est constant    où    $n$ est le nombre de moles et $N_A$ le →  nombre d'Avogadro

La pression exercée par un gaz

 

   La pression provient des chocs des molécules sur la paroi du récipient.    Elle dépend du nombre de molécules par unité de volume, de leur masse et du carré de leur vitesse (deux facteurs qui conditionnent leur énergie cinétique)    On peut montrer:

        $P = \frac{1}{3}N\cdot m\cdot v^2$     avec:     $N$: $\frac{nombre\ de\ molécules}{volume\ du\ récipient}$     $m$ : masse d'une molécule     $v$ : vitesse moyenne des molécules

    Cette loi ne s'établit que par un calcul intégral qui dépasse le cadre de ce cours.     Une approche simpliste (correct??) serait la suivante;         ;     Dans une dimension l'énergie cinétique échangée dans les deux sens avec les parois vaudrait $E =2\cdot \frac{1}{2}\frac{N}{3}\cdot V\cdot m v^2$     en considérant qu'il n'y a que $\frac{N}{3}$ moléciles par unité de volume qui jouent dans cette ligue.     On aura alors pour la pression : $P =\frac{E}{V} = \frac{1}{3}N\cdot m\cdot v^2$         Comme $\rho = \frac{masse totale}{volume} = N\cdot m$     on a encore:    

        $P = \frac{1}{3}\rho \cdot v^2$     avec:     $N$: $\frac{nombre\ de\ molécules}{volume\ du\ récipient}$     $m$ : masse d'une molécule     $v$ : vitesse moyenne des molécules     $\rho$ : masse volumique

Énergie cinétique totale des molécules d'un gaz

    en outre, comme     $PV = nRT$, on a:     $P = \frac{1}{3}\rho \cdot v^2 = nRT$     $P = \frac{1}{3}\frac{masse totale}{V} \cdot v^2 = nRT$     Énergie cinétique totale = $\frac{1}{2}\frac{masse totale}{V} \cdot v^2 = \frac{3}{2}nRT$    

   Énergie cinétique totale        $E_{cin} = \frac{3}{2}nRT$    

Exercices

1

 

    1) Calculer la masse volumique de l'hydrogéne $H_2$ à $20^oC$ et $0,92\cdot 10^5\ Pa$     puis:     2) Trouver la vitesse moyenne d'une molécule d'hydrogène dans ces conditions    

   →   Calcul

    1)     $1 mol$ de $H_2$ a une masse de $2\ g$ et dans ces conditions un volume de     $V = \frac{1\cdot 8,31\cdot 293,15}{0,92\cdot 10^5}$ = $0,0265\ m^3$     donc sa mass volumique vaut     $\rho = \frac{2\cdot 10^{-3}}{0,0265} = 0,0755 \frac{kg}{m^3}$         2)     $\frac{1}{3}\rho\cdot v^2 = P$     $v = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$     $= \sqrt{\frac{3\cdot 0,92\cdot 10^5}{0,0755}}$     $= 1912 \frac{m}{s}$

2

 

    Trouver l'énergie cinétique à $40^oC$ des molécules contenues dans $8\ g$ d'ioxygène gaz $O_2$

   →   Calcul

    $n = \frac{8}{2\cdot 16} = 0.25\ mol$     $E_{cin} = \frac{3}{2}nRT $     $ = \frac{3}{2}0,25\cdot 8,31\cdot 313,15 = 975,9 J$    

3

 

    Trouver la vitesse moyenne d'une molécule de méthane $CH_4$ dans l'atmosphère de la planète Jupiter qui est à une température de $-130^oC$

   →   Calcul

    Masse d'une mole de molécules =     $(12+4)\cdot \cdot 10^{-3}$     $ = 16 \cdot 10^{-3}\ kg$         Pour cette masse on a:     $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}\cdot 1\cdot RT$     et ainsi:     $v = \sqrt{\frac{3\cdot 8,31 \cdot 143,15}{16\cdot 10^{-3}}}$     $\ =\ 472,3\ \frac{m}{s}$