Vitesse et accélération
angulaires
 

     

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Mesure des angles en radian

   $2 \pi $ radians = $360^o$    $1rad = \frac{360}{2 \pi}^o$

Remarque sur le cercle

   Pou $2\pi $ rad la longueur de la circonférence = $2 \pi \cdot r$    Pou 1 rad on aura: une longueuer fr l'arc de $\frac{2 \pi \cdot r}{2 \pi} = r $    Pou $\theta $ rad: l =$\theta \cdot r$

Définitions: Mouvement angulaire sur le cercle

   La vitesse angulaire est l'angle divisé par le temps qu'il faut pour le balayer    $\omega = \frac{\theta}{t}$    Unités:    Radians par seconde:    $\frac{rad}{s}$    Tours par minute:    $1 rpm$ = $\frac{2\pi}{60} \frac{rad}{s}$     L'accélération angulaire ($\alpha$)est la variation de la vitesse angulaire divisée par le temps pour faire cette variation    $\alpha = \frac{\omega - \omega_o}{t}$    Unités:    $\frac{rad}{s^2}$    Éuations de mouvement identiques à →  celles-ci en remplaçant $v$ par $\omega$ , $a$ par $\alpha$ et $d$ par $\theta$

Mouvement linéaire sur le cercle

    La vitesse linéaire sur le cercle = $v = \frac{l}{t} = \frac{\theta \cdot r}{t} = \omega\cdot r$     L'accélération linéaire sur le cercle = $a = \frac{l}{t^2} = \frac{\omega}{t} = \alpha \cdot r$

   Vitesse linéaire:    $v = \omega \cdot r $    Accélération linéaire:    $a = \alpha\cdot r $

Exemple 1

Un pendule de $24 dm$ décrit un arc de $12 cm$. Trouver $\theta$    →   Calcul

$\theta = \frac{l}{r} = \frac{0,12}{2,4} = 0,02 rad$

Exemple 2

Une roue fait $360\ rpm$ Trouver la vitesse linéaire d'un point situé à $20\ cm $ du centre$\theta$    →   Calcul

$360 rpm = \frac{360\cdot 2\pi}{60} = 12\pi \frac{rad}{s}$ $v = 12\pi \cdot 0,2 = 2,4\pi \frac{m}{s}$

Exemple 3

Une roue démarre avec une accélération constante $\alpha = 10\frac{rad}{s^2}$ Combien de tours fait-elle pendant les 15 premières secondes?    →   Calcul

$\theta =\frac{1}{2}\alpha\cdot t^2 = \frac{10\cdot 225}{2} = 1125 rad$ Nombre de tours = $\frac{1125}{2\pi} = \frac{562,5}{\pi}$

Exemple 4

   La vitesse angulaire d'une perceuse passe de $70\pi\frac{rad}{s}$ à $30\pi\frac{rad}{s}$ après avoir effectué 80 révolutions.    Calculer $\alpha$    →   Calcul

$\alpha =\frac{1\omega_1^2-\omega_o^2}{2\theta} = -\frac{4000\pi^2}{2\cdot 80\cdot 2\pi} = -12,5\pi \frac{rad}{s^2}$