Théorême de Bernoulli
 

     

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Théorême

   L'énergie d'une portion de fluide qui s'écoule reste constante        $E$ = $ W_p$ + $E_{cin}$ + $E_{pot} $ = constante    où    $W_p$ est le travaill de la pression    $W_p = P\frac{m}{\rho}$    $E_{cin}$ est l'énergie cinétique    $E_{cin}$= $\frac{1}{2}mv^2$    $E_{pot}$ est l'énergie potentielle    $E_{pot}$= $9,81\cdot m\cdot h$

Exemple

    Écoulement d'un liquide de masse volumique $\rho = 0,8\frac{g}{cm^3}$ dans ce tube avec     $P_1 = 1,6\cdot 10^5 Pa; d_1 = 40\ cm;d_2 = 25\ cm; v_1 = 0,8 \frac{m}{s }; h = 6\ m$     Calculer $P_2$    →   Calcul

   Calcul de $v_2$:        $A_1v_1 =A_2v_2$ (débit !)    $v_2 =\frac{A_1v_1}{A_2 } = \frac{\pi 0,02^2 \cdot 0,8}{\pi0,0125^2}= 2,05\frac{m}{s}$    Calcul de $P_2$ (Bernoulli):        $P_2 = P_1 + \rho (\frac{v_1^2-v_2^2}{2}+9,81(0-h))$    $P_2 = 1,6\cdot 10^5 + 800(\frac{0,8^2-2,05^2}{2}-9,81\cdot 6)= 1,115\cdot 10^5 Pa $

Exercices

1

 

    $d_1= 30\ cm; d_2 = 15\ cm$    On a mesuré que $P_2-P_1 = 2,84\cdot 10^4\ pA $     Calculer le débit de l'eau $Q$    →   Calcul

   $v_2 =\frac{A_1v_1}{A_2}= \frac{\pi0,15^2\cdot v_1}{0,075^2}= 4v_1$    Bernoulli (aucune différence de hauteur):    $P_1-P_2 = \rho_{eau} \frac{v_1^2-(4v_1)^2}{2}$    $-2,84\cdot 10^4 = 1000 (\frac{-15v_1^2}{2}$    $v_1^2 = 3,78; v_1= 1,94\frac{m}{s} $    $Q = A_1v_1 = \pi0,15^2\cdot 1,94 = 0,137 \frac{m^3}{s}$

2

 

   Une pompe monte $8\frac{l}{s} $ d'eau par un tuyau de $5\ cm$ de section à une hauteur de $16\ m$     Calculer la vitesse de remontée de l'eau et la puissance de la pompe.    →   Calcul

   En une seconde: $d =\frac{Volume}{Section}$ = $\frac{8\cdot 10^{-3}}{\pi\cdot 25\cdot 10^{-4}}$ = $4,07\ m$    En une seconde:$W = (P_2-P_1)\cdot V $ = $h \cdot \rho_{eau}\cdot 9,81\cdot V$ =    $16\cdot 1000\cdot 9,81\cdot 0,008$ = $1240\ J$    Puissance = $\frac{W}{t}= \frac{1240}{1} = 1,25 kW$