Neben dem Photoeffekt gab es zu Beginn des 20. Jahrhunderts noch eine unerklärte Tatsache ...
Wenn wir als Lichtquelle Elemente nehmen, erhitzt auf eine hohe Temperatur , erscheinen Spektrallinien im sichtbaren Spektrum dieses Lichtes.
Woher kommen diese Spektrallinien?
Niels Bohr
Der dänische Physiker Niels Bohr dachte über die Spektrallinien von Wasserstoff nach. Jede Linie musste von einem Photon fester Wellenlänge stammen, das vom Atom emittiert wurde. Nach Plancks Formel $ E_{Photon} $ $ = $ $ h \nu \; (7) $ muss die Energie aller Photonen, die eine bestimmte Linie erzeugen, genau gleich sein. Aber woher kam diese Energie und warum war es so? Bohr vermutete, dass das Atom H kreisförmige Bahnen haben würde, an denen sich das Elektron im Kreis drehen könnte. Auf jeder Umlaufbahn würde das Elektron also eine bestimmte Energie beitzen, auf einer vom Kern entfernten Umlaufbahn eine höhere Energie $E_2 $ als die Energie $E_1 $ auf einer engeren Umlaufbahn . (Um von der fernen Umlaufbahn in die nähere Umlaufbahn zu gelangen, sollte das Elektron eine Arbeit unter dem Einfluss der Zugkraft des Kerns ausführen und somit Energie verlieren.) Bohr hat auch angenommen, wenn das Elektron aus einer fernen Umlaufbahn auf eine engere Umlaufbahn fällt, dann sollte die verlore Energie $ E_2-E_1$ außerhalb des Atoms in Form eines Photons ausgestrahlt werden.
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Quantensprung von der 4 ten Umlaufbahn nach der 1 ten
Bohr bemühte sich, das experimentelle Spektrum des Wasserstoffatoms wiederzufinden, indem er auf seine Hypothese einging: Es war notwendig, die Energie des Elektrons in jeder Umlaufbahn zu bestimmen . Dann wäre es leicht, die Position der Spektrallinien mit der Planckschen Formel zu finden. Klassische Physik führte Bohr zu folgenden Überlegungen:
Coulomb-Kraft zwischen Elektron und Kern des Atoms:
Der Kern des Atoms H besteht aus einem einzelnen Proton. Es hat die Ladung $ e $ $ = $ $ 1,6 \cdot 10^{- 19}\; C $ . Das Elektron hat die Ladung $ - e $ $ = $ $ -1,6 \cdot 10^{- 19} \;C $ . Diese beiden Ladungen sind entfernt von $ r $ = Radius der Bahn, wo das Elektron ist . Das Elektron wird daher mit der Kraft von Coulomb vom Kern angezogen: $F_1$ $=$ $k\frac{e^2}{r^2}$, mit $ k $ $ = $ $ 9,0 \cdot 10^9 \frac{Nm^2}{C^2} $
Zentrifugalkraft des Elektrons:
Das Elektron, das sich mit einer Geschwindigkeit $ v $ auf einer Kreisbahn des Radius $ r $ bewegt, erfährt eine Zentrifugalkraft, die gleich ist: $ F_2 $ $ = $ $ \frac{mv^2}{r} $, mit $ m $ $ = $ $ 9,11 \cdot 10^{- 31}\; kg $
Energie des Elektrons im Atom
Die Energie eines materiellen Systems ist die Arbeit (Kraft · Verschiebung), die dieses System verrichten kann.
Potentielle Energie:
Im Atom H hat das Elektron, das sich in einem Abstand $ r $ von einem Proton befindet, Energie, weil es Arbeit liefern könnte (Coulombkraft $ \cdot $ Kerndistanz) indem es zum Kern hingezogen würde. Physiker zeigen, dass wir diese Energie in folgender Form schreiben können: $ E_{pot} $ $ = $ $ -k \frac{e^2}{r} $ Wie erwartet, sehen wir, dass durch Erhöhung der Entfernung zum Kern die Energie zunimmt. In unendlicher Entfernung vom Kern ist die potentielle Energie (willkürlich) auf 0 festgelegt, was ihren Maximalwert darstellt!
Kinetische Energie
Im H-Atom hat das Elektron, das sich mit einer Geschwindigkeit $v$ bewegt, Energie, weil es zum Beispiel ein anderes Teilchen bewegen kann, indem es mit ihm kollidiert. Physiker zeigen, dass wir diese Energie in folgender Form schreiben können: $ E_{cin} $ $ = $ $ \frac{mv^2}{2} $
Eine Gleichung!
Die klassische Physik liefert also nur eine Gleichung zwischen den Unbekannten $ v $ und $ r $: Coulomb-Kraft = Zentrifugalkraft $ k \frac{e^2}{r^2} $ $ = $ $ \frac {mv^2}{r} $
Um die Werte von $ v $ und $ r $ zu bestimmen, war es notwendig, eine zweite Gleichung zwischen diesen Unbekannten zu finden, die notwendigerweise die $ n $ -Zahl der Umlaufbahn beinhaltet. Da Bohr aus den Spektren wusste, welche Werte von $ \Delta E $ er erreichen sollte, suchte er absichtlich eine zweite Gleichung, die zu diesen Werten führte: $mvr$ $ = $ $ \frac{nh}{2\pi} \; (*) $ In der → Kombination mit vorherigen Gleichungen findet Bohr das folgende Ergebnis:
Energie des Elektrons in der Umlaufbahn $n$: $E_n$ $=$ $-\frac{A}{n^2}$ mit: $A$ $=$ $2,18\cdot 10^{-18}J\;(**)$
Hier ist ein Diagramm der energetischen Zustände (Energien des Elektrons auf verschiedenen Orbitalen) im Wasserstoffatom von Bohr:
Der Übergang des Elektrons vom Zustand $ n $ $ = $ $ n_2 $ in den Zustand $ n $ $ = $ $ n_1 $ verursacht einen Energieverlust (**) von: $E_{n_2}$ $-$ $E_{n_1}$ $ =$ $ A(\frac{1}{n_1^2}$ $-$ $\frac{1}{n_2^2})$ Die Energie wird als Photon freigesetzt: $h\nu$ $ =$ $A(\frac{1}{n_1^2}$ $-$ $\frac{1}{n_2^2})$ also: $\nu$ $ =$ $\frac{A}{h}(\frac{1}{n_1^2}$ $-$ $\frac{1}{n_2^2})$ $\lambda$ $ =$ $\frac{c}{\frac{A}{h}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})}$
Für den Übergang von $ n_2 $ $ = $ $ 3 $ zu $ n_1 $ $ = $ $ 2 $ erlaubt diese letzte Formel zB die Berechnung (!!) einer Wellenlänge des Photons von $\lambda$ = $\frac{3\cdot 10^8}{\frac{2,18\cdot 10^{-18}}{6,626\cdot 10^{-34}}(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})}$ = $65,62\cdot 10^{-8}m$ = $656,2 nm$.
Dies ist die rote Linie (!!) im sichtbaren Spektrum von Wasserstoff! Die anderen Spektrallinien werden ebenfalls von der vorherigen Formel abgeleitet.
Bohrs Theorie und besonders die Gleichung (*) spielten eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Wellenmechanik, die für alle atomaren Gebäude gelten sollte!