Bohrs Atom

Detaillierte Berechnung

$E_{pot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{r}\;(5)$ $E_{cin}$ $=$ $\frac{mv^2}{2}\;(6)$ $\frac{ke^2}{r^2}$ $=$ $\frac{mv^2}{r}\;(7) $ $mvr$ $=$ $\frac{nh}{2\pi}\;(8) $ mit: $k$ $=$ $9\cdot 10^9\frac{Nm^2}{C^2}$ $e$ $=$ $1,6\cdot 10^{-19}C$ $m$ $=$ $9,11\cdot 10^{-31}kg$ $h$ $=$ $6,626\cdot 10^{-34}Js$ $\pi$ $=$ $3,1416$

-Eliminieren Sie $v$ zwischen (7) und (8) um den Radius $r$ der $n^{ten}$ Kreisbahn zu bekommen (I)

(8): $v$ $=$ $\frac{nh}{2\pi r m}$ $v^2$ $=$ $\frac{n^2h^2}{4\pi^2 r^2 m^2}$ in (7): $\frac{ke^2}{r^2}$ $=$ $\frac{mn^2h^2}{r4\pi^2 r^2 m^2}$ $ke^2$ $=$ $\frac{n^2h^2}{4\pi^2 r m}$ $r$ $=$ $\frac{n^2h^2}{4\pi^2 ke^2 m}\;(I)$

- Führen Sie in (8) die Geschwindigkeit des Elektrons auf der $ n^{ten} $ Kreisbahn ein (II)

(8): $v$ $=$ $\frac{nh}{2\pi r m}$ (I) in (8): $v$ $=$ $\frac{nh\cdot 4pi^2ke^2m}{2\pi n^2 h^2 m}$ $v$ $=$ $\frac{2k\pi e^2}{nh}\;(II)$

- Drücken Sie die Gesamtenergie des Elektrons auf der $ n^{ten} $ Kreisbahn als Funktion von $r$ aus (III)

$E_{tot}$ $=$ $E_{pot}+E_{cin}$ (5) und (6): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{r}$ $+$ $\frac{mv^2}{2}$ (7): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{r}+\frac{\frac{ke^2r}{r^2}}{2}$ $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{2r}\;(III)$

Beachten Sie, dass sowohl die potentielle Energie als auch die Gesamtenergie negativ ist. weil wir den Nullpunkt der Energie beliebig auf die Position einstellen, an der das Elektron unendlich weit vom Atomkern entfernt ist. Das spielt keine Rolle hinterher, da nur die Unterschiede in der Energie benötigt werden, um die Wellenlängen der emittierten Protonen zu berechnen!

- Führen Sie (I) in (III) ein

(III): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{2r}$ (I) in (III): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^24\pi^2ke^2m}{2n^2h^2}$ $E_{tot}$ $=$ $-\frac{2k^2e^4\pi^2m}{n^2h^2}$

- Indem Sie die oben angegebenen Werte der Konstanten einführen, finden Sie endlich:

$E_{tot}$ (en $J$) = $-2,18\cdot 10^{-18}\frac{1}{n^2}$