Collisions des molécules d'un gaz réel avec une paroi

Quelques rappels

Une intégrale $\int_0^\infty\,xe^{-ax^2}dx$ $=$ $\frac{1}{2a}\, (5) $ Densité de probabilité d'une composante $v_x$ de la vitesse d'une molécule (voir →   ici) $\mathscr{f}(v_x)=(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{1}{2}e^{-\frac{mv_x^2}{2kT} }$ où $T$ est la température Kelvin $k=1,38\cdot 10^{-23}$ est la constante de Boltzmann $m$ est la masse de la molécule

Fréquence des collisions par unité de surface

Soit une paroi de surface $A$ perpendiculaire à l'axe $x$. Une molécule dont la composante de vitesse suivant $x$ vaut $v_x\gt 0$ heurtera la paroi en un temps $\Delta t$ si elle se trouve à une distance inférieure ou égale à $v_x\Delta t$ de la paroi. De même toutes les molécules se trouvant dans un volume $Av_x\Delta t$. Il n'est pas important ici que des molécules quittent ce volume avant de frapper la paroi, parce que leur direction est oblique, parce qu'il y en aura autant qui viendront les compenser à partir de l'extérieur du volume. Si $\mathcal N$ est le nombre de molécules par unité de volume, alors il y aura $\mathcal N\cdot Av_x\Delta t$ molécules dans ce volume. Le nombre de chocs moyen contre la paroi pendant le temps $\Delta t$ est donc égal à la moyenne du nombre de molécules dans le volume $Av_x\Delta t$ multiplié par la densité de probabilité $\mathscr{f}(v_x)$ de cette vitesse Nombre de chocs moyen contre une paroi de surface $A$= $\int_0^\infty\, \mathcal N\cdot Av_x\Delta t \cdot \mathscr{f}(v_x)=$ $\mathcal N \cdot A \Delta t \int_0^\infty (\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{1}{2}v_xe^{-\frac{mv_x^2}{2kT} }=$ $\mathcal N \cdot A \Delta t (\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{1}{2}\frac{1}{2\cdot \frac{m}{2kT}}=$ $\mathcal N \cdot A \Delta t (\frac{kT}{2\pi \cdot m})^\frac{1}{2}$ D'autre part, $N$ étant le nombre de molécules et $V$ le volume correspondant, on a: $\mathcal N$= $\frac{N}{V}=$ $\frac{P}{kT}$ (loi des gaz parfaits) En prenant $A=1 m^2$ et $\Delta t=1s$, on obtient: