Considérons deux particules A et B : - au temps initial $t_i$ ils sont en $A_i$ respectivement $B_i$. Ces deux points sont caractérisés dans le repère orthonormé par les vecteurs de position $\vec r_{a,i}$ et $\vec r_{b,i}$. - ils se déplacent avec les vitesses respectives $\vec v_a$ et $\vec v_b$ - au temps final $t_f$ ils sont en $A_f$ respectivement $B_f$. Ces deux points sont caractérisés dans le repère orthonormé par les vecteurs de position $\vec r_{a,f}$ et $\vec r_{b,f}$. - on a: $\vec{A_iA_f}$ $=$ $\vec v_a\Delta t$ et $\vec{B_iB_f}$ $=$ $\vec v_b\Delta t$ avec $\Delta t$ $=$ $t_f-t_i$ - l'addition vectorielle nous donne: $\vec r_{a,f}=\vec r_{a,i}+\vec v_a\Delta t$ $\vec r_{b,f}=\vec r_{b,i}+\vec v_b\Delta t$ Étudions avec quelle vitesse les distances entre les particules changent. Cette vitesse s'appellera vitesse relative des deux particules. $\vec d_f-\vec d_i$ $=$ $(\vec v_b-\vec v_a)\Delta t$ $\frac{\vec d_f-\vec d_i}{\Delta t}$ $=$ $\vec v_b-\vec v_a$
Vitesse relative : Deux particules qui se déplacent avec les vitesses $\vec v_a$ et $\vec v_b$ ont une vitesse relative $\vec v=\vec v_b-\vec v_a$
Le module du vecteur vitesse relative vérifie: $|\vec v|$ = $\sqrt{\vec v \cdot \vec v} =$ $\sqrt{(\vec v_b-\vec v_a)(\vec v_b-\vec v_a)} =$ $\sqrt{\vec v_b\vec v_b-2\vec v_b\vec v_a+ \vec v_a\vec v_a} =$ $\sqrt{|\vec v_b|^2-2\vec v_b\vec v_a+ |\vec v_a|^2}$ - Le mouvement aléatoire des particules dans un gaz fait en sorte qu'il y a autant d'occurences où le produit $\vec v_b\vec v_a$ prend la même valeur absolue que son opposé. En moyenne sur un grand nombre de cas ce produit va s'annuller. - $|\vec v_b|^2$ et $|\vec v_a|^2$ seront égaux en moyenne au carré de la vitesse moyenne $\lt v \gt$ introduite ici. On peut donc conclure que la vitesse quadratique moyenne relative de deux particules vaut: $\lt v\gt_{rel}=\sqrt{2u^2}=\sqrt{2}\lt v\gt$ où $\lt v\gt$ est la vitesse moyenne des particules
Vitesse moyenne relative de deux particules d'une substance gazeuse: $\lt v\gt_{rel}=\sqrt{2}\lt v\gt$ où $\lt v\gt$ est la vitesse moyenne
Voici une molécule mobile d'une substance gazeuse supposée compacte de diamètre $d$ qui se déplace avec la vitesse quadratique $u_{rel}=\sqrt{2}u$ moyenne relative par rapport aux autres molécules.
- Pendant un temps $\Delta T $ elle balaye un "tube de collisions" de longueur $L=\sqrt{2}\lt v \gt\Delta T$ et de section $\pi d^2$ où elle peut rencontrer d'autres molécules dont le centre se trouve dans le tube. - Le volume de ce tube vaut $\sqrt{2}\pi d^2 \lt v\gt\Delta T$ et si $N$ est le nombre de molécules dont le centre se trouve dans le tube, le nombre de collisions de notre molécule pendant le temps $\Delta T$ vaut $N-1\approx N$ - Comme $P\cdot V=N\cdot k\cdot T$ (loi des gaz parfaits), on trouve: Nombre de collisions d'une molécule pendant le temps $\Delta T$ = $N=\frac{P}{k\cdot T}\pi d^2 \sqrt2 \lt v\gt \Delta T$ Fréquence des collisions d'une molécule= $\frac{N}{\Delta T}$ $=$ $\frac{P}{k\cdot T}\pi d^2 \sqrt2 \lt v\gt $
Fréquence des collisions d'une molécule dans un gaz: $z=\frac{P}{k\cdot T}\pi d^2 \sqrt2 \lt v\gt$ où $P$ est la pression $T$ est la température absolue $k$ est la constante de Boltzmann $d$ le diamètre d'une molécule $\lt v\gt$ est la vitesse moyenne d'une molécule → avec: $\lt v\gt=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$