Sources: Physical Chemistry - P.W. Atkins - 4th edition Oxford University Press (Oxford) Chemical Principles- Steven S. Zumdahl-4th edition- Hougton-Mifflin (London)
Fonctions densité de probabilité - Une fonction densité de probabilité $f(x)$ est un fonction telle que $\int_a^bf(x)dx$ est la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ dépendant de $x$ se situe dans l'intervalle $[a,b]$ de la variable $x$ - La moyenne (espérance mathématique) d'une variable aléatoire $X$ dépendant de $x$ sur l'ensemble $I$ des valeurs possibles de $x$ est donnée par: $\lt X \gt=\int_If(x)dx$ Deux intégrales $\int_{0}^\infty\,x^3e^{-x^2}dx$ $=$ $\frac{1}{2} $ $\int_{0}^\infty\,x^4e^{-x^2}dx$ $=$ $\frac{3}{8}\sqrt \pi $
Densité de probabilité de la vitesse d'une molécule d'un gaz parfait $\mathscr{f}(v)=4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT} }$ où $T$ est la température Kelvin $k=1,38\cdot 10^{-23}$ est la constante de Boltzmann $m$ est la masse d'une molécule
$\lt v\gt$= $\int_{0}^\infty\,v\mathscr{f}(v)dv=$ $\int_{0}^\infty\,v 4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT} }dv=$ $4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}\int_{0}^\infty\,v^3e^{-\frac{mv^2}{2kT} }dv$ En posant $y^2=\frac{mv^2}{2kT}$ on trouve: $\lt v\gt$= $4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}(\frac{2kT}{m})^2\int_{0}^\infty\,y^3e^{-y^2}dy=$ $4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}(\frac{2kT}{m})^2\frac{1}{2}=$ $\sqrt {\frac{8kT}{\pi m}}=$ $\sqrt {\frac{8RT}{\pi M}}$
La vitesse moyenne d'une molécule d'un gaz parfait vaut $\lt v\gt =\sqrt {\frac{8RT}{\pi M}}$ où $R = 8,3 \frac{J}{mol\cdot K}$ est la constante des gaz parfaits $M$ est la masse molaire du gaz (en $kg$) $T$ est la température absolue (en $K$)
Vitesse quadratique moyenne $u=$ $\sqrt{\int_{0}^\infty\,v^2\mathscr{f}(v)dv}= $ $\sqrt{\int_{0}^\infty\,v^2 4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT} }dv}=$ $\sqrt{\int_{0}^\infty\, 4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}v^4e^{-\frac{mv^2}{2kT} }dv}$ En posant $y^2=\frac{mv^2}{2kT}$ on trouve comme en haut: $u=$ $\sqrt {\frac{3kT}{m}}=$ $\sqrt {\frac{3RT}{M}}$
La vitesse quadratique moyenne d'une molécule d'un gaz parfait vaut $u =\sqrt {\frac{3RT}{M}}$ où $R = 8,3 \frac{J}{mol\cdot K}$ est la constante des gaz parfaits $M$ est la masse molaire du gaz (en $kg$) $T$ est la température absolue (en $K$)
On retrouve ainsi le résultat vu → ici
Étudions la courbe de densité de probabilité des vitesses donnée par la loi de Maxwell-Boltzmann: Limites: $lim_{v\mapsto \pm\infty}\mathscr{f}(v) = 0$ Maximimum: $\frac{d}{dv}\mathscr{f}(v)=0$ $4 \pi(\frac{m}{2\pi\cdot k\cdot T})^\frac{3}{2}v(2-\frac{m}{kT}v^2)e^{-\frac{mv^2}{2kT}}=0$ $2-\frac{m}{kT}v^2=0$ $v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$ $v=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
La vitesse la plus probable d'une molécule d'un gaz parfait vaut $v_{max}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ où $R = 8,3 \frac{J}{mol\cdot K}$ est la constante des gaz parfaits $M$ est la masse molaire du gaz (en $kg$) $T$ est la température absolue (en $K$)
Vérifions ces valeurs: $v_{max}=$
$u=$
$\lt v \gt=$