Durch seine Dissoziation,
$ B $ $ + $ $ H_2O $ $ \rightleftarrows $ $ OH^- $ $ + $ $ HB $
bringt eine Base, so schwach sie auch sein mag, normalerweise mehr Hydroxidionen ins Wasser als die Autoprotolyse von Wasser selbst.
Nennen wir $ n_{B} $ die Anzahl der Mole der Base $ B $, die in das Wasser eingeführt werden, bevor sie dissoziiert wird.
Wenn $ V $ das endgültige Volumen ist, gilt für die anfängliche (formale) Molarität :
$ c_{B} $ $ = $ $ \frac{n_{B}}{V} $
Nennen wir $ x $ die Anzahl der Mole von Hydroxid $ OH^- $ in der Lösung, wenn das Dissoziationsgleichgewicht erreicht ist.
Dann haben wir:
$OH^-$ $=$ $ \frac{x}{V}$
und
$pOH $ $=$ $ -log(\frac{x}{V})$
Wir berechnen jetzt $x$:
Wir finden in der Reihenfolge:
(1) $ x $ Mol $ OH^- $ im Gleichgewicht
(2) $ x $ Mol $ OH^- $ produziert
(3) $ x $ Mol $ B $ verschwunden
(4) $ n_B-x $ Mol $ B $ im Gleichgewicht
(5) $ x $ Mol $ HB $ produziert
(6) $ x $ Mol $ HB $ im Gleichgewicht
Die Molaritäten im Gleichgewicht sind :
$[OH^-]$ $=$ $\frac{x}{V}$
$[B]$ $=$ $\frac{n_B-x}{V}$
$[HB]$ $=$ $\frac{x}{V}$
Einführung in den Ausdruck der Basizitätskonstante $K_b$:
$K_b$ $=$ $\frac{[OH^-][HB]}{[B]}$ =
$\frac{\frac{x}{V}\frac{x}{V}}{\frac{n_B-x}{V}}$ =
$\frac{\frac{x}{V}\frac{x}{V}}{\frac{n_B}{V}-\frac{x}{V}}$ =
$\frac{[OH^-]^2}{c_B-[OH^-]}$
$[OH^-]^2$ $+$ $K_b[OH^-]$ $-$ $K_bc_B$ $=$ $0$
Dann, mit $z=[OH^-]$:
Um den pH-Wert einer verdünnten Lösung einer schwachen Base zu bestimmen: - berechnen wir eine vernünftige Lösung der Gleichung: $ z^2 + K_b \cdot z-K_b c_B = 0 $ - dann $ pOH $ $ = $ $ -log \; z $ - und wir finden: $pH $ $=$ $ 14-pOH$ $=$ $14$ $+$ $log\;z$
Beispielsweise: Bei einer schwachen Base $ 0.10 \frac{mol}{L} $ mit $ K_b $ $ = $ $ 4,00 \cdot 10^{-2} $: liefert die Gleichung $ z^2 $ $ + $ $ 4,0 \cdot 10^{-2} \cdot z $ $ - $ $ 4,0 \cdot 10^{-2} \cdot 0,10 $ $ = $ $ 0 $ die positive Wurzel: $ z $ $ = $ $ 8,3 \cdot 10^{- 3} $ und so: $pH$ $=$ $14$ $+$ $log\; z$ $ =$ $12$