Application de la loi de Henry à la plongée

L'hydrostatique

La pression dans l'eau

En un point de l'eau la pression s'exerce dans tous les sens:

Cette pression est la somme de deux pressions: - la pression atmosphérique en surface - la pression exercée par l'eau qui dépend uniquement de la profondeur

Le principe fondamental de l'hydrostatique

Exemple La pression exercée par l'eau à $10\;m$ de profondeur vaut: $P_{eau}$ $ = $ $1000\cdot 10 \cdot 10 \approx 10^5 Pa $ $= $ $\;bar$ $ \approx$ $ 1\;atm$ Dans la mer, où il y a une pression de $1\;bar$ en surface, la pression à $10\;m$ de profondeur vaut donc $1+1=2\;bar$ Règle pratique

Exercice Un plongeur séjourne à 25m de profondeur assez longtemps pour que l'équilibre s'établisse entre l'air qu'il respire à la pression ambiante et son sang. Calculer alors la molarité de l'azote dans son sang (qu'on assimilera à de l'eau)

Loi de Henry: $P_{N_2}=1+2,5=3,5\;atm$ $[N_2]$ $=$ $6,1\cdot 10^{-4}\cdot 3,5$ $ = $ $2,1\cdot 10^{-3}\frac{mol}{L}$

La "tension" de l'azote

Définition En général, les plongées sont assez brèves de telle manière que l'équilibre entre l'azote respiré et l'azote d'un tissu donné n'a pas le temps de s'établir. À chaque molarité de l'azote inférieure à la molarité à l'équilibre il correspond une pression d'après la loi de Henry. C'est la pression à laquelle serait exposé le plongeur d'après la loi de Henry s'il y avait déjà équilibre avec la molarité en question. On l'appelle tension de l'azote.

Exemple Un plongeur est descendu rapidement à $10\;m$ de profondeur. La tension d'azote dans un de ses tissus vaut $1,3 atm$: Alors la molarité de l'azote dans ce tissu est $[N_2]$ $=$ $6,1\cdot 10^{-4}\cdot 1,3$ $ = $ $7,9\cdot 10^{-4}\frac{mol}{L}$ Il reste maintenant assez longtemps à cette profondeur pour que l'équilibre s'établisse: Alors la molarité de l'azote dans ce tissu est $[N_2]$ $=$ $6,1\cdot 10^{-4}\cdot 2,0$ $ = $ $1,2\cdot 10^{-3}\frac{mol}{L}$ Période d'un tissu Pour un premier plongeur descendu très rapidement de la surface de la mer à $10\;m$ de profondeur, il y faut $5$ minutes au sang pour atteindre une tension d'azote de $1+\frac{2-1}{2}$ $=$ $1,5\; atm$ c.à.d. pour dissoudre la moitié de la quantité maximale permise jusqu'à cette profondeur. Pour un deuxième plongeur descendu très rapidement de la surface de la mer à $20\;m$ de profondeur, il y faut $5$ minutes au sang pour atteindre une tension d'azote de $1+\frac{3-1}{2}$ $=$ $2,0\; atm$ c.à.d. pour dissoudre la moitié de la quantité maximale permise jusqu'à cette profondeur. Si le premier plongeur descend maintenant rapidement à $20\;m$ de profondeur, il y faut encore $5$ minutes à son sang pour atteindre une tension d'azote de $1,5 + \frac{3-1,5}{2}=2,25\; atm$ c.à.d. pour dissoudre la moitié de la quantité maximale jusqu'à cette profondeur. Si le deuxième plongeur remonte maintenant rapidement à $10\;m$ de profondeur, il y faut encore $5$ minutes à son sang pour atteindre une tension d'azote de $2,25 - \frac{2,25-2,0}{2}=2,125\; atm$ c.à.d. pour dissoudre la moitié de la quantité maximale permise jusqu'à cette profondeur. On dit que la période du tissu sang est de $5$ minutes!

Après une plongée profonde, un plongeur remonte vers une profondeur plus faible où il reste pour faire un "palier": Voici la courbe de décroissance de la tension d'azote d'un de ses tissus à la profondeur et température du palier à partir d'une valeur initiale vers la pression (tension) à l'équilibre. Notez que la moitié de la moitié est un quart, la moitié d'un quart un huitième etc..

Cette courbe permet de prévoir la tension d'azote du tissu en question en fonction du temps de séjour au palier, de la tension accumulée pendant la plongée profonde, de la profondeur du palier et de la période du tissu en question: Méthode mathématique: Il s'agit d'une fonction exponentielle décroissante telle qu'on la connaît en radioactivité ou en cinétique des réactions chimiques de premier ordre: $ln\frac{T-T_o}{T_i-T_o}$ $=$ $-kt$ $T-T_o$ $=$ $(T_i-T_o)e^{-kt}$ où $t$ est le temps séjourné au palier $T_i$ est la tension d'azote accumulée pendant la plongée profonde $T_o$ est la tension d'azote d'équilibre au palier $T$ est la tension d'azote du tissu en question après le temps $t$ au palier Remarquons que pour $t=t_{\frac{1}{2}}=$ la période du tissu, on a $T-T_o=\frac{T_i-T_o}{2}$ ce qui donne: $ln2=\frac{k}{t_{\frac{1}{2}}}$ Rien n'empêche d'employer ce qui précède aussi au cas d'un plongeur qui descend à une profondeur donnée et qui y séjourne pendant un temps donné!

 

Exemple: Déterminer la tension d'azote pour: Plongée depuis la surface de la mer à $40\;m$ Durée: $30$ minutes Tissu de période: $10$ minutes: $T_o=0,8\cdot 5= 4\;atm$ $T$ $=$ $4+(0,8-4)e^{-\frac{ln2}{10}30}\approx 3,6\;atm$

Méthode simplifiée: Remarquons que dans le traitement précédent: $e^{-\frac{ln2}{10}30}=e^{ln2\cdot{-\frac{30}{10}}}=2^{-\frac{30}{10}}=2^{-3}=\frac{1}{8}$ Ainsi: $T$ $=$ $T_o+(T_i-T_o)Q$ avec $Q=\frac{1}{2}$ pour $t=t_{\frac{1}{2}}$ $Q=\frac{1}{4}$ pour $t=2t_{\frac{1}{2}}$ $Q=\frac{1}{8}$ pour $t=3t_{\frac{1}{2}}$ etc.. Exemple: Déterminer la tension d'azote pour: Remontée à un palier de $9\;m$ avec une tension d'azote $T=3,6\;atm$ Durée au palier: $20$ minutes Tissu de période: $5$ minutes: $T_o$ $=$ $0,8\cdot 1,9$ $= $ $1,52\;atm$ $T$ $=$ $1,52+(3,6-1,52)\frac{1}{16}$ $\approx $ $1,65\;atm$

Compartiments

En théorie de la plongée, on travaille actuellement avec $12$ compartiments: - le plus "rapide" a une période de $5$ minutes. Il contient le sang - le plus "lent" a une période de $120$ minutes. Il contient le tissu adipeux

La sursaturation critique

Les bulles dans l'eau gazeuse se forment dès l'ouverture de la bouteille parce que la valeur de la tension de dioxyde de carbone dans l'eau est à ce moment beaucoup plus élevée que la pression partielle de ce gaz dans l'air. Ce qui est la cause de la sursaturation et de l'apparition des bulles. Dans les tissus du corps humain l'apparition de bulles d'azote provoque l'accident de décompression que els plongeurs doivent éviter à tout prix: On a déterminé pour chacun des $12$ compartiments un rapport limite appelé coëfficient de sursaturation critique:

 

Période (min)	$S_c$
5	2,72
7	2,54
10	2,38
15	2,20
20	2,04
30	1,82
40	1,68
50	1,61
60	1,58
80	1,56
100	1,55
120	1,54

Exemple: Calculer la tension de l'azote à ne pas dépasser pour éviter la sursaturation dans le compartiment $10`$ a) à $6,5\;m$ de profondeur dans la mer. b) à $8\;m$ de profondeur dans la mer a) $S_c=\frac{T}{T_o}$ $T$ $=$ $S_c\cdot T_o$ $=$ $ 2,38\cdot 1,65$ $=$ $3,92\;atm$ a) $S_c=\frac{T}{T_o}$ $T$ $=$ $S_c\cdot T_o$ $=$ $ 2,38\cdot 1,80$ $=$ $4,28\;atm$ Ce qui veut dire qu'un plongeur ayant par exemple une tension $T$ $=$ $4,0\;atm$ dans son compartiment $10`$ y risque un accident de décompression à $6,5\;m$, mais pas à $8,0\;m$

Les paliers

En général on choisit un palier assez profond pour que la pression absolue y soit telle que le plongeur ne risque pas d'accident de décompression pour tout ses compartiments.

Exemple: Lors d'une plongée en mer à $30\;m$ pendant $20$ minutes on considère deux compartiments: $10`$ et $20`$ a) Calculer la tension d'azote en fin de plongée pour chaque compartiment b) Quel est le tissu directeur et à quelle profondeur faudra-t-il faire un palier (en supposant que ce soient les deux seuls compartiments, ce qui n'est pas le cas !) c) En cas de palier, quelle sera la durée minimale de ce palier?

a) Pour le compartiment $10`$: Plongée depuis la surface de la mer à $30\;m$ Durée: $20$ minutes Pour le compartiment: $10`$: $T_o=0,8\cdot 4= 3,2\;atm$ $T$ $=$ $3,2+(0,8-3,2)\frac{1}{4}\approx 2,6\;atm$ Pour le compartiment: $20`$: Plongée depuis la surface de la mer à $30\;m$ Durée: $20$ minutes Tissu de période: $20`$: $T_o=0,8\cdot 4= 3,2\;atm$ $T$ $=$ $3,2+(0,8-3,2)\frac{1}{2}\approx 2,0\;atm$ b) $P$ $=$ $\frac{T}{S_c}$ nous donne la pression totale minimale permise: Pour le compartiment: $10`$: $P$ $=$ $\frac{2,6}{2,38}=1,09$ ce qui veut dire que ce compartiment doit rester en-dessous de $0,9\;m$ de profondeur... Pour le compartiment: $20`$: $P$ $=$ $\frac{2}{2,04}=0,98$ ce qui veut dire que ce compartiment peut bien venir en surface où la pression vaut $1\;atm$... Le compartiment $10`$ est directeur: Le plongeur doit faire un palier à $3\;m$ c) Au palier, le compartiment: $10`$ doit atteindre une tension de l'azote telle qu'il n'y ait pas de sursaturation à la surface: $\frac{T}{1,0}=2,38$ $T=2,38\;atm$ $ln\frac{T-T_o}{T_i-T_o}$ $=$ $-kt$ avec $T_o=1,3\cdot 0,8=1,04\;atm$ $T_i=2,6\;atm$ $ln\frac{2,38-1,04}{2,6-1,04}$ $=$ $-\frac{ln2}{10}t$ $ 0,152$ $=$ $-\frac{ln2}{10}t$ $t=-\frac{10\cdot 0,152}{ln2}=2,2$ minutes Résultat soumis à caution, puisqu'on n'a considéré que 2 compartiments!!