L'atome de Bohr

Calculs détaillés

$E_{pot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{r}\;(5)$ $E_{cin}$ $=$ $\frac{mv^2}{2}\;(6)$ $\frac{ke^2}{r^2}$ $=$ $\frac{mv^2}{r}\;(7) $ $mvr$ $=$ $\frac{nh}{2\pi}\;(8) $ avec: $k$ $=$ $9\cdot 10^9\frac{Nm^2}{C^2}$ $e$ $=$ $1,6\cdot 10^{-19}C$ $m$ $=$ $9,11\cdot 10^{-31}kg$ $h$ $=$ $6,626\cdot 10^{-34}Js$ $\pi$ $=$ $3,1416$

-Éliminez $v$ entre (7) et (8) pour avoir le rayon $r$ de la $n^{me}$ orbite (I)

(8): $v$ $=$ $\frac{nh}{2\pi r m}$ $v^2$ $=$ $\frac{n^2h^2}{4\pi^2 r^2 m^2}$ dans (7): $\frac{ke^2}{r^2}$ $=$ $\frac{mn^2h^2}{r4\pi^2 r^2 m^2}$ $ke^2$ $=$ $\frac{n^2h^2}{4\pi^2 r m}$ $r$ $=$ $\frac{n^2h^2}{4\pi^2 ke^2 m}\;(I)$

- Introduisez dans (8) pour avoir la vitesse de l'électron sur la $n^{me}$ orbite (II)

(8): $v$ $=$ $\frac{nh}{2\pi r m}$ (I) dans (8): $v$ $=$ $\frac{nh\cdot 4pi^2ke^2m}{2\pi n^2 h^2 m}$ $v$ $=$ $\frac{2k\pi e^2}{nh}\;(II)$

- Exprimez l'énergie totale de l'électron sur la $n^{me}$ orbite en fonction de $r$ (III)

$E_{tot}$ $=$ $E_{pot}+E_{cin}$ (5) et (6): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{r}$ $+$ $\frac{mv^2}{2}$ (7): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{r}+\frac{\frac{ke^2r}{r^2}}{2}$ $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{2r}\;(III)$

Notez que l'énergie potentielle, ainsi que l'énergie totale est négative, parce qu'on a fixé arbitrairement le zéro de l'énergie à la position où l'électron se trouve à distance infinie du noyau. Cela n'aura aucune importance par la suite puisqu'on aura besoin seulement des différences de l'énergie pour calculer les longueurs d'onde des protons émis!

- Introduisez (I) dans (III)

(III): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^2}{2r}$ (I) dans (III): $E_{tot}$ $=$ $-\frac{ke^24\pi^2ke^2m}{2n^2h^2}$ $E_{tot}$ $=$ $-\frac{2k^2e^4\pi^2m}{n^2h^2}$

- En introduisant les valeurs des constantes données en haut, on trouve finalement:

$E_{tot}$ (en $J$) = $-2,18\cdot 10^{-18}\frac{1}{n^2}$